Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，點C是拋物線在第一象限內部分的一個動點，點D是OC的中點，連接BD并延長，交AC于點E.

（1）說明：；
（2）當點C、點A到y軸距離相等時，求點E坐標.
（3）當的面積為時，求的值.

Answer 1

(1)理由見解析；（2）（，）；（3）2.

試題分析：（1）由y=0，得出的一元二次方程的解就是A、B兩點的橫坐標．由此可求出A、B的坐標。通過構建相似三角形求解，過O作OG∥AC交BE于G，那么可得出兩組相似三角形：△GED∽△OGD、△BOG∽△BAE，可分別用這兩組相似三角形得出OG與EC的比例關系、OG與AE的比例關系，從而得出CE、AE的比例關系．
(2)由已知可求C（2，8），再求AC所在直線解析式，根據△AEF∽△ACH可求E點坐標.
(3)由D是OC的中點可知S_△OCE=2S_△CDE,又由已知可求S_△AOC=8,從而可求出CH、AH的值，從而可求的值.
試題解析：(1)令y=0,則有-x²+2x+8=0.
解得：x₁=-2，x₂=4
∴OA=2，OB=4.
過點O作OG∥AC交BE于G

∴△CEG∽△OGD
∴
∵DC=DO
∴CE=0G
∵OG∥AC
∴△BOG∽△BAE
∴
∵OB=4,OA=2
∴;
(2)由（1）知A（-2，0），且點C、點A到y軸的距離相等，
∴C（2，8）
設AC所在直線解析式為：y=kx+b
把 A 、C兩點坐標代入求得k=2，b=4
所以y=2x+4
分別過E、C作EF⊥x軸，CH⊥x軸，垂足分別為F、H

由△AEF∽△ACH可求EF=，OF=,
∴E點坐標為（，）
（3）連接OE
∵D是OC的中點，
∴S_△OCE=2S_△CED
∵S_△OCE:S_△AOC=CE:CA=2:5
∴S_△CED：S_△AOC=1：5．
∴S_△AOC=5S_△CED=8
∴
∴CH=8

考點: 二次函數綜合題.