Question

如圖，拋物線y=－x+4x+5交x軸于A、B（以A左B右)兩點，交y軸于點C.

(1)求直線BC的解析式；
(2)點P為拋物線第一象限函數圖象上一點，設P點的橫坐標為m，△PBC的面積為S，求S與m的函數關系式；
(3)在(2)的條件下，連接AP，拋物線上是否存在這樣的點P，使得線段PA被BC平分，如果不存在，請說明理由；如果存在，求點P的坐標.

Answer 1

(1) y=   (2) S=   (3)存在，P(2,9)或P(3,8)

試題分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到點A、B的坐標，再令x=0求出點C的坐標，設直線BC解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數法求一次函數解析式解答；
（2）過點P作PH⊥x軸于H，交BC于F，根據拋物線和直線BC的解析式表示出PF，再根據S_△PBC=S_△PCF+S_△PBF整理即可得解；
（3）設AP、BC的交點為E，過點E作EG⊥x軸于G，根據垂直于同一直線的兩直線平行可得EG∥PH，然后判斷出△AGE和△AHP相似，根據相似三角形對應邊成比例可表示出EG、HG，然后表示出BG，根據OB=OC可得∠OCB=∠OBC=45°，再根據等角對等邊可得EG=BG，然后列出方程求出m的值，再根據拋物線解析式求出點P的縱坐標，即可得解．
試題解析：（1）當y=0時，x₁=5，x₂=－1，
∵A左B右，
∴A(-1，0),B(5，O)
當x=0時，y=5，
∴C（0,5），
設直線BC解析式為y=kx+b,
∴
∴
∴直線BC解析式為:y=；
(2)作PH⊥x軸于H，交BC于點F，

P(m，-m²+4m+5)，F(m,-m+5)
PF=-m²+5m ，
S_△PBC=S_△PCF+S_△PBF
S=
∴S=；
(3)存在點P，
作EG⊥AB于G,PH⊥AB于H，

∴EG∥PH，
∴△AGE∽△AHP，
∴，
∵P(m，-m²+4m+5)，
EG=，
AH=m-(-1)=m+1，   GH=，
HB="5-m" ，GB=，
∵OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴EG=BG，
∴=，
∴m₁=2   m₂=3，
當m=2時，P(2,9)，
當m=3時，P(3,8)，
∴存在這樣的點P, 使得線段PA被BC平分,P(2,9)或P(3,8)．