Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，BC為直徑，∠BAC的平分線與BC和⊙O分別相交于D和E，P為CB延長線上一點，PB＝5，PA＝10，且∠DAP＝∠ADP．

（1）求證：PA與⊙O相切；

（2）求sin∠BAP的值；

（3）求ADAE的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）90.

【解析】

（1）連接OA，由三角形的外角性質和角平分線得出∠PAB＝∠C，由等腰三角形的性質得出∠OAC＝∠C＝∠PAB，由圓周角定理得出∠BAC＝90°，證出∠OAP＝90°，即AP⊥OA，即可得出PA與⊙O相切；

（2）證明△PAB∽△PCA，得出 得出，即可得出結果；

（3）連接CE，由切割線定理求出PC＝20，得出BC＝PC﹣PB＝15，求出，再證明△ACE∽△ADB，得出，即可得出結果．

（1）證明：連接OA，如圖1所示：

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵∠DAP＝∠BAD+∠PAB，∠ADP＝∠CAD+∠C，∠DAP＝∠ADP，

∴∠PAB＝∠C，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠C＝∠PAB，

∵BC為直徑，

∴∠BAC＝90°，即∠OAC+∠OAB＝90°，

∴∠PAB+∠OAB＝90°，即∠OAP＝90°，

∴AP⊥OA，

∴PA與⊙O相切；

（2）解：∵∠P＝∠P，∠PAB＝∠C，

∴△PAB∽△PCA，

∴

∵∠CAB＝90°，

∴

∴sin∠BAP＝sin∠C＝；

（3）解：連接CE，如圖2所示：

∵PA與⊙O相切，

∴PA2＝PB×PC，即102＝5×PC，

∴PC＝20，

∴BC＝PC﹣PB＝15，

∵

∴，

∵AE是∠BAC的角平分線，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵∠E＝∠ABD，

∴△ACE∽△ADB，

∴

∴