Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，CO的延長線交AB于點D.

(1)求證：AO平分∠BAC；

(2)若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）AC＝ ， CD＝ ,

【解析】分析：（1）延長AO交BC于H，連接BO，證明A、O在線段BC的垂直平分線上，得出AO⊥BC，再由等腰三角形的性質即可得出結論；（2）延長CD交⊙O于E，連接BE，則CE是⊙O的直徑，由圓周角定理得出∠EBC=90°，∠E=∠BAC，得出sinE=sin∠BAC，求出CE=BC=10，由勾股定理求出BE=8，證出BE∥OA，得出，求出OD=，得出CD=，而BE∥OA，由三角形中位線定理得出OH=BE=4，CH=BC=3，在Rt△ACH中，由勾股定理求出AC的長即可．

本題解析：

解：(1)證明：延長AO交BC于H，連接BO.

∵AB＝AC，OB＝OC，

∴A，O在線段BC的垂直平分線上．∴AO⊥BC.

又∵AB＝AC，∴AO平分∠BAC.

(2)延長CD交⊙O于E，連接BE，則CE是⊙O的直徑．

∴∠EBC＝90°，BC⊥BE.

∵∠E＝∠BAC，∴sinE＝sin∠BAC.

∴＝.∴CE＝BC＝10.

∴BE＝＝8，OA＝OE＝CE＝5.

∵AH⊥BC，∴BE∥OA.

∴＝，即＝，

解得OD＝.∴CD＝5＋＝.

∵BE∥OA，即BE∥OH，OC＝OE，∴OH是△CEB的中位線．

∴OH＝BE＝4，CH＝BC＝3.∴AH＝5＋4＝9.

在Rt△ACH中，AC＝＝＝3.