Question

7．如圖：△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，CD平分∠ACB交⊙O于點D，交AB于點P．連接AD、BD，AC=5，AB=10．
（1）求$\widehat{BC}$的長度；
（2）過點D作AB的平行線，交CB的延長線于點F，試判斷DF與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OC，如圖，由圓周角定理得到∠ACB=90°，則OC=OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=5，易得△AOC是等邊三角形，所以∠CAB=60°，接著利用圓周角定理得到∠COB=2∠CAB=120°，然后根據弧長公式計算弧BC的長度；
（2）連接OD，如圖，由于CD平分∠ACB，則∠ACD=∠DCB=45°，利用圓周角定理得到∠DOB=$\frac{1}{2}$∠DCB=90°，再根據平行線的性質易得∠ODF=90°，即OD⊥DF，然后根據切線的判定定理可得DF是⊙O的切線．

解答 解：（1）連接OC，如圖，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，OA=OB，
∴OC=OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵AC=5，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠CAB=60°，
∴∠COB=2∠CAB=120°，
∴弧BC的長度為$\frac{120•π•5}{180}$=$\frac{10}{3}$π；
（2）DF是⊙O的切線．理由如下：
連接OD，如圖，
∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°
∴∠ACD=∠DCB=45°，
∴∠DOB=$\frac{1}{2}$∠DCB=90°，
∵AB∥DF，
∴∠DOB+∠ODF=180°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF
又∵OD為半徑，
∴DF是⊙O的切線．

點評 本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．解決（1）小題的關鍵是確定∠BOC的度數．