Question

12．如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點F為AB延長線上一點，點E在BC上，BE=BF，連接AE，EF和CF．
（1）求證：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度數．

Answer 1

分析 （1）根據已知利用SAS判定△ABE≌△CBF；
（2）根據題意可知△ABC和△EBF都是等腰直角三角形，求出∠AEB=75°．由（1）知△ABE≌△CBF，可得∠CFB=∠AEB=75°，利用角之間的關系即可解答．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，F為AB延長線上一點，
∴∠ABC=∠CBF=90°．
在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF．
（2）∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點F為AB延長線上一點，點E在BC上，BE=BF，
∴△ABC和△EBF都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠EFB=45°．
∵∠CAE=30°，
∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=30°+45°=75°．
由（1）知△ABE≌△CBF，
∴∠CFB=∠AEB=75°．
∴∠EFC=∠CFB-∠EFB=75°-45°=30°．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性質等知識點的掌握情況；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．