Question

18．如圖，矩形ABCD中，點E是CD邊長的一點，△BCE沿BE折疊為△BFE，點F在AD上．
（1）求證：△ABF∽△DFE；
（2）若sin∠DFE=$\frac{1}{3}$，求tan∠FBE的值．

Answer 1

分析 （1）由矩形ABCD中，△BCE沿BE折疊為△BFE，易得∠BFE=∠C=90°，∠ABF=∠DFE，則可證得：△ABF∽△DFE；
（2）由sin∠DFE=$\frac{1}{3}$，可得$\frac{DE}{EF}$=$\frac{1}{3}$，然后設DE=a，則EF=3a，DF=2$\sqrt{2}$a，由△ABF∽△DFE，則可求得FE：BF的值，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∴∠AFB+∠ABF=90°，
∵∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB+∠DFE=90°，
∴∠ABF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE；

（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE=$\frac{DE}{EF}$=$\frac{1}{3}$，
設DE=a，則EF=3a，DF=2$\sqrt{2}$a，
∴CE=EF=3a，AB=CD=DE+CE=4a，
∵△ABF∽△DFE，
∴$\frac{FE}{BF}$=$\frac{DF}{AB}$=$\frac{2\sqrt{2}a}{4a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠FBE=$\frac{FE}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、折疊的性質以及三角函數等知識．注意掌握折疊前后圖形的對應關系．