Question

13．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，點E是BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點B落在點F處，連接FC，則sin∠ECF=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 過E作EH⊥CF于H，由折疊的性質得BE=EF，∠BEA=∠FEA，由點E是BC的中點，得到CE=BE，得到△EFC是等腰三角形，根據等腰三角形的性質得到∠FEH=∠CEH，推出△ABE∽△EHC，求得EH=$\frac{24}{5}$，即可得出sin∠ECF的值．

解答 解：過E作EH⊥CF于H，
由折疊的性質得：BE=EF，∠BEA=∠FEA，
∵點E是BC的中點，
∴CE=BE，
∴EF=CE，
∴∠FEH=∠CEH，
∴∠AEB+∠CEH=90°，
在矩形ABCD中，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠CEH，∠B=∠EHC，
∴△ABE∽△EHC，
∴$\frac{AB}{EH}=\frac{AE}{CE}$，
∵AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=10，
∴EH=$\frac{24}{5}$，
∴sin∠ECF=sin∠ECH=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{4}{5}$，
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等；對應角相等．也考查了矩形的性質以及勾股定理．