Question

20．閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧，天下無敵．這是武俠小說中常見的描述，其意是指兩人合在一起，取長補短，威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”如：（2+$\sqrt{3}$）（2-$\sqrt{3}$）=1，2+$\sqrt{3}$與2-$\sqrt{3}$的積不含有根號，我們就說這兩個式子互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式．于是二次根式$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$可以這樣解：$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{（2+\sqrt{3}）（2+\sqrt{3}）}{（2-\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}=\frac{7+4\sqrt{3}}{1}=7+4\sqrt{3}$，像這樣，通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化．
解決問題：①$4+\sqrt{7}$的有理化因式是4-$\sqrt{7}$
②計算：$\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\sqrt{27}-6\sqrt{\frac{1}{3}}$
③計算：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…$+\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}$．

Answer 1

分析 ①根據平方差公式，可得答案；
②根據平方差公式，二次根式的乘除法，可得答案；
③根據分母有理化，可得二次根式的加減，根據二次根式的加減，可得答案．

解答 解：①$4+\sqrt{7}$的有理化因式是 4-$\sqrt{7}$．
故答案為：4-$\sqrt{7}$．
②$\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\sqrt{27}-6\sqrt{\frac{1}{3}}$
=$\frac{2-\sqrt{3}}{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$+3$\sqrt{3}$-6$\sqrt{\frac{1×3}{3×3}}$
=2-$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$
=2；
③$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…$+\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$
=$\sqrt{2016}$-1．

點評 本題考查了分母有理化，利用平方差公式是解題關鍵．