Question

11．已知：如圖1，點P在線段AB上（AP＞PB），C、D、E分別是AP、PB、AB的中點，正方形CPFG和正方形PDHK在直線AB同側．
（1）求證：GC=ED
（2）求證：△EHG是等腰直角三角形；
（3）若將圖1中的射線PB連同正方形PDHK繞點P順時針旋轉一個角度后，其它已知條件不變，如圖2，判斷△EHG還是等腰直角三角形嗎？若是，給予證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由先根據C、D、E分別是AP、PB、AB的中點，易證得CE=DP，繼而可證得CP=DE，然后由四邊形CPFG和四邊形PDHK都是正方形，證得結論；
（2）由四邊形CPFG和四邊形PDHK都是正方形，易得CE=DP=DH，CG=CP=DE，∠GCE=∠EDH=90°，然后由全等三角形的判定定理求出△CEG≌△DHE，由直角三角形的兩銳角互補即可解答；
（3）連接CE、ED，根據三角形中位線定理及直角三角形的性質可得?CEDP，再由CE=DP=DH，CG=CP=DE，∠GCE=∠EDH=90°可求出△CEG≌△DHE，再通過等量代換即可解答．

解答 （1）證明：∵C、D、E分別是AP、PB、AB的中點，
∴CE=AE-AC=$\frac{1}{2}$AB-$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$（AB-AP）=$\frac{1}{2}$BP=DP，
∴CE+EP=DP+EP，
即CP=DE，
∵四邊形CPFG和四邊形PDHK都是正方形，
∴CP=CG，
∴GC=ED；

（2）證明：∵四邊形CPFG和四邊形PDHK都是正方形，
∴CE=DP=DH，CG=CP=DE，∠GCE=∠EDH=90°，
∴在△CEG和△DHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=DH}\\{∠GCE=EDH}\\{CG=DE}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△DHE（SAS）．
∴EG=HE，∠EGC=∠HED
而∠EGC+∠CEG=90°，
∴∠HED+∠CEG=90°．
∴∠GEH=90°．
又∵EG=HE，
∴△EHG是等腰直角三角形．

（3）解：△EHG還是等腰直角三角形．
理由如下：
連接CE、ED，
∵點C、D、E分別是AP、PB及AB的中點，
∴CE∥PB，DE∥AP，
∴四邊形CEDP是平行四邊形，
∴∠PCE=∠PDE．
∴∠GCE=∠EDH，
∵CE=$\frac{1}{2}$BP=DP=DH，CG=CP=$\frac{1}{2}$AP=DE，
∴在△CEG和△DHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=DH}\\{∠GCE=EDH}\\{CG=DE}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△DHE（SAS），
∴EG=HE，∠EGC=∠HED．
如圖，設EG和CP相交于M，
則∠GEH=∠GED-∠HED
=∠GMP-∠EGC
=∠GCM
=90°，
∴△EHG是等腰直角三角形．

點評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了平行四邊形的判定與性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形判定等知識．注意能證得△CEG≌△DHE（SAS）是關鍵．