Question

1．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，點O是AB邊上的中點．

（1）OC=1，S_△ABC=1；
（2）如圖2，把△AOC繞著點O按順時針旋轉60°至△A′OC′的位置，求四邊形A′C′CB的面積；
（3）如圖3，把△AOC繞著點O按順時針旋轉任意角度，你認為在以點A'、B、C、C′為頂點的多邊形中，面積是否存在最大值？如果存在，請求出最大面積；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據△ABC是等腰直角三角形，可得AB=2，再根據點O是AB邊上的中點，可得CO⊥AB，CO=$\frac{1}{2}$AB=1，即可得出S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×CO=$\frac{1}{2}$×2×1=1；
（2）過O作OE⊥CC'于E，作OF⊥BA'于F，根據四邊形A′C′CB的面積=△BOC的面積+△A'OC'的面積+△COC'的面積+△A'OB的面積，進行計算即可；
（3）過點C'作C'D⊥CO于D，則C'D≤C'O=1，當點D與點O重合時，C'D有最大值1，此時∠COC'=90°，∠A'OB=90°，進而得出△COC'的面積最大值為：$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，同理可得，△A'OB的面積最大值為$\frac{1}{2}$，而△BOC的面積=△A'OC'的面積=$\frac{1}{2}$，據此可得以點A、B、C、C′為頂點的多邊形中，面積存在最大值．

解答 解：（1）如圖1，∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=2，
又∵點O是AB邊上的中點，
∴CO⊥AB，CO=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×CO=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
故答案為：1，1；

（2）由旋轉可得，CO=C'O，∠COC'=60°，
∴△COC'是等邊三角形，∠A'OB=120°，
∴CC'=OC=OB=1，
如圖2，過O作OE⊥CC'于E，作OF⊥BA'于F，
∴Rt△CEO中，CE=$\frac{1}{2}$，OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
Rt△BOF中，OF=$\frac{1}{2}$，BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故A'B=$\sqrt{3}$，
四邊形A′C′CB的面積
=△BOC的面積+△A'OC'的面積+△COC'的面積+△A'OB的面積
=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（3）以點A'、B、C、C′為頂點的多邊形中，面積存在最大值．
如圖3，過點C'作C'D⊥CO于D，則C'D≤C'O=1，
∴當點D與點O重合時，C'D有最大值1，
此時∠COC'=90°，∠A'OB=90°，
∴△COC'的面積最大值為：$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
同理可得，△A'OB的面積最大值為$\frac{1}{2}$，
而△BOC的面積=△A'OC'的面積=$\frac{1}{2}$，
∴四邊形A'BCC'的面積最大值為：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=2．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形、等邊三角形的性質以及三角形的面積計算公式的運用，解決問題的關鍵是掌握等腰直角三角形的性質．等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．