Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，對稱軸為直線x=1的拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且點B的坐標為（-1，0）

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D的坐標為（0，1），點P是拋物線上的動點，若△PCD是以CD為底的等腰三角形，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）點P的坐標為（1+，2）或（1﹣，2）．

【解析】

（1）求出A、B坐標，利用待定點C的坐標為（0，3），點D（1，0），
（2）由點C的坐標為（0，3），點D（1，0），可知滿足條件的點P的縱坐標為2，解方程-x2+2x+3=2即可得到點P的橫坐標，由此即可解決問題．

解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B，

∴由題意可求點A的坐標為（3，0）．

將點A（3，0）和點B（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c，

得 ，

解得 ，

∴拋物線的解析式y=﹣x2+2x+3．

（2）如圖，

∵點C的坐標為（0，3），點D（1，0），

∴滿足條件的點P的縱坐標為2．

∴﹣x2+2x+3=2．

解得 x1=1+，x2=1﹣，

∴點P的坐標為（1+，2）或（1﹣，2）．