Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y），如果點Q（x，y′）的縱坐標滿足y′＝，那么稱點Q為點P的“關聯點”．

（1）請直接寫出點（3，5）的“關聯點”的坐標　 　；

（2）如果點P在函數y＝x﹣2的圖象上，其“關聯點”Q與點P重合，求點P的坐標；

（3）如果點M（m，n）的“關聯點”N在函數y＝2x2的圖象上，當0≤m≤2時，求線段MN的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（3，2）；（2）（4，2）；（3）當m≥n時，線段MN的最大值是14；當m＜n時，線段MN的最大值是2．

【解析】

（1）根據關聯點的定義，可得答案；

（2）根據關聯點的定義，可得Q點的坐標，根據點在函數圖象上，可得方程，根據解方程，可得答案；

（3）根據關聯點的定義，可得N的坐標，根據平行于y軸的直線上兩點間的距離，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案.

解：（1）∵3＜5，根據關聯點的定義，y′＝5﹣3＝2，

∴點（3，5）的“關聯點”的坐標（3，2），

故答案為：（3，2）；

（2）∵點P在函數y＝x﹣2的圖象上，

∴點P的坐標為（x，x﹣2）．

∵x＞x﹣2，根據關聯點的定義，點Q的坐標為（x，2）．

又∵點P與點Q重合，

∴x﹣2＝2，解得x＝4，

∴點P的坐標是（4，2）；

（3）點M（m，n）的“關聯點”N，由關聯點的定義，得

第一種情況：當m≥n時，點N的坐標為（m，m﹣n），

∵N在函數y＝2x2的圖象上，

∴m﹣n＝2m2，n＝﹣2m2+m，即yM＝﹣2m2+m，yN＝2m2，

∴MN＝|yM﹣yN|＝|﹣4m2+m|，

①當0≤m≤，﹣4m2+m≥0，

MN＝﹣4m2+m＝﹣4（m﹣）2+，

∴當m＝時，線段MN的最大值是；

②當＜m≤2時，﹣4m2+m＜0，

MN＝4m2﹣m＝4（m﹣）2﹣，當m＝2時，線段MN的最大值是14；

第二種情況：當m＜n時，點N的坐標為（m，n﹣m），

∵N在函數y＝2x2的圖象上，

∴n﹣m＝2m2，即n＝2m2+m，

∴yM＝2m2+m，yN＝2m2，

∴MN＝|yM﹣yN|＝|m|，

∵0≤m≤2，

∴MN＝m，

∴當m＝2時，線段MN的最大值是2；

綜上所述：當m≥n時，線段MN的最大值是14；當m＜n時，線段MN的最大值是2．