Question

【題目】如圖1，⊙O的直徑AB=12，P是弦BC上一動點（與點B，C不重合），∠ABC=30°，過點P作PD⊥OP交⊙O于點D．
（1）如圖2，當PD∥AB時，求PD的長；
（2）如圖3，當 = 時，延長AB至點E，使BE= AB，連接DE． ①求證：DE是⊙O的切線；
②求PC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖2，連接OD，

∵OP⊥PD，PD∥AB，

∴∠POB=90°，

∵⊙O的直徑AB=12，

∴OB=OD=6，

在Rt△POB中，∠ABC=30°，

∴OP=OBtan30°=6× =2 ，

在Rt△POD中，

PD= = =2

（2）解：①證明：如圖3，連接OD，交CB于點F，連接BD，

∵ = ，

∴∠DBC=∠ABC=30°，

∴∠ABD=60°，

∵OB=OD，

∴△OBD是等邊三角形，

∴OD⊥FB，

∵BE= AB，

∴OB=BE，

∴BF∥ED，

∴∠ODE=∠OFB=90°，

∴DE是⊙O的切線；

②由①知，OD⊥BC，

∴CF=FB=OBcos30°=6× =3 ，

在Rt△POD中，OF=DF，

∴PF= DO=3（直角三角形斜邊上的中線，等于斜邊的一半），

∴CP=CF﹣PF=3 ﹣3．

【解析】（1）根據題意首先得出半徑長，再利用銳角三角三角函數關系得出OP，PD的長；（2）①首先得出△OBD是等邊三角形，進而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；②首先求出CF的長，進而利用直角三角形的性質得出PF的長，進而得出答案．