Question

【題目】已知，如圖，Rt△ABC，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，O為BC延長線上一點，CO=3，過O，A作直線l，將l繞點O逆時針旋轉，l與AB交于點D，與AC交于點E，當l與OB重合時，停止旋轉；過D作DM⊥AE于M，設AD=x，S△ADE=S．

（1）用含x的代數式表示DM，AM的長；
（2）當直線l過AC中點時，求x的值；
（3）用含x的代數式表示AE的長；
（4）求S與x之間的函數關系式；
（5）當x為多少時，DO⊥AB．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

在Rt△ABC中，BC=6，AC=8，

∴AB=10，

∵DM⊥AC，BC⊥AC，

∴DM∥BC，

∴ ，

∴ ，

∴DM= x，

（2）

如圖2，

∵直線l過AC中點，

∴AE=CE= AC=4，

∵DM∥BC，

∴ ，

∴ ①，

∵DM∥BC，

∴

∴ ，

∴ ②，

由①②得，AM=ME= AE=2，

∵DM∥BC，

∴ ，

∴ ，

∴x= ，

（3）

由（1）有，DM= x，

在Rt△ADM中，AM= x，

∴MC=8﹣AM=8﹣ x，

∵DM∥BC，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ME= ，

∴AE=AM+ME= ，

（4）

解：由DM= x，AE= x﹣ x2，

∴S= AE×DM= × x×（ x﹣ x2）= x2﹣ x3，

（5）

解：∵DO⊥AB，

∴∠B+∠BOD=90°，

∵∠B+∠BAC=90°，

∴∠BOD=∠BAC，

∴△OBD∽△ABC，

∴ ，

∴ ，

∴BD=5.4，

∴x=AD=AB﹣BD=10﹣5.4=4.6．

【解析】探究1，根據勾股定理求出AB=10，再由DM∥BC，得出 ，求出DM；探究2，由直線l過AC中點，得到AE=CE= AC=4，再由DM∥BC， ， ，求出AM=ME= AE=2，從而求出x；探究3，由DM，AM，求出MC，再由DM∥BC，得出比例式求出ME，從而得到AE；發現：由探究1，得到DM，再由探究3，得到AE求出S；探究4，由DO⊥AB，得到∠B+∠BOD=90°，判斷出△OBD∽△ABC，求出BD即可，
【考點精析】本題主要考查了平行線分線段成比例和相似三角形的應用的相關知識點，需要掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例；測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能正確解答此題．