Question

如圖，拋物線y=

3

8

x²-

3

4

x+c分別交x軸的負半軸和正半軸于點A（x₁，0）、B（x₂，0），交y軸的負軸于點C，且tan∠OAC=2tan∠OBC，動點P從點A出發向終點B運動，同時動點Q從點B出發向終點C運動，P、Q的運動速度均為每秒1個單位長度，且當其中有一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設運動的時間是t秒．

（1）試說明OB=2OA；
（2）求拋物線的解析式；
（3）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？
（4）當t為何值時，△PBQ是等腰三角形？

Answer 1

（1）由條件得：

OC

OA

=2×

OC

OB

∴OB=2OA．

（2）由條件與第（1）題的結論得：-2x₁=x₂，
根據拋物線對稱軸可得，x₁+x₂=2，
x₁x₂=

8

3

c，
解得：x₁=-2，x₂=4，c=-3；
拋物線的解析式；y=

3

8

x²-

3

4

x-3；

（3）由條件得：BP=6-t，BQ=t，
令y=

3

8

x²-

3

4

x-3中y=0，得到3x²-6x-24=0，
解得：x=-2或4，
即OB=4，OA=2，
又∵OC=3，
在直角三角形BOC中，根據勾股定理得：BC=5，
∴cos∠ABC=

BO

BC

=

4

5

，
在直角三角形PBQ中，分BQ為斜邊或PB為斜邊，
可得

6-t

t

=

4

5

或

t

6-t

=

4

5

，
∴t=

10

3

秒或t=

8

3

秒；

（4）作QE⊥AB，
∵BP=6-t，BQ=t，PQ=

EQ2+PE2

=

( 3t 5 )2+( 4t 5 -6+t)2

，
t=6-t，
∴t=3秒
或

4t

5

=

6-t

2

∴t=

30

13

秒；
或

( 3t 5 )2+(6-t- 4t 5

)2=6-t，
∴t=0（舍去），t=

48

13

．