Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于A、B，點B的坐標為（10，0），頂點M的坐標為（4，8），點P從點M出發，以每秒1個單位的速度沿線段MA向A點運動；點Q從點A出發，以每秒2個單位的速度沿AB向B點運動，若P、Q同時出發，當其中的一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒鐘．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設△APQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式，△APQ的面積是否有最大值？若有，請求出其最大值；若沒有，請說明理由；
（3）當t為何值時，△APQ為等腰三角形？

Answer 1

（1）設拋物線的解析式為y=a（x-4）²+8，把B（10，0）代入得，
36a+8=0，解得a=-

2

9

，
∴拋物線的解析式為y=-

2

9

(x-4)2+8；

（2）由拋物線的對稱性可知點A的坐標為（-2，0），過M作MC⊥x軸于點C，過P作⊥x軸于點H，則AC=6，MC=8，AM=10，
∵△PAH∽△MAC得，

PH

MC

=

AP

AM

，

PH

8

=

10-t

10

，解得PH=8-

4

5

t，
∴s=

1

2

×2t×(8-

4

5

t)=-

4

5

t2+8t（0≤t≤6），
∵a=-

4

5

＜0，
∴s有最大值，當t=-

8

2×(- 4 5 )

=5時，s有最大值為20；

（3）由（2）得AP=10-t，PH=8-

4

5

t，AQ=2t，
由△PAH∽△MAC得AH：AC=AP：AM，即AH：6=（10-t）：10，AH=

3

5

（10-t），
∴QH=2t-AH=

13

5

t-6，PQ=

PH2+QH2

，
當AP=AQ時，t=

10

3

；
當AP=PQ時，t=

15

4

；
當AQ=PQ時，t=

50

17

．