Question

【題目】在學習三角形中位線的性質時，小亮對課本給出的解決辦法進行了認真思考： 請你利用小亮的發現解決下列問題：
（1）如圖1，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于E，且AE=EF，求證：AC=BF． 請你幫助小亮寫出輔助線作法并完成論證過程：

（2）解決問題：如圖2，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位線，過點D、E作DF∥EG，分別交BC于F、G，過點A作MN∥BC，分別與FE、GE的延長線交于M、N，則四邊形MFGN周長的最小值是 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，延長AD至點M，使MD=FD，連接MC，

在△BDF和△CDM中， ，

∴△BDF≌△CDM（SAS）．

∴MC=BF，∠M=∠BFM．

∵EA=EF，

∴∠EAF=∠EFA，

∵∠AFE=∠BFM，

∴∠M=∠MAC，

∴AC=MC，

∴BF=AC

（2）10 +8
【解析】（2）解：如圖2，
∵MN∥BC，FM∥GN，
∴四邊形MFGN是平行四邊形，
∴MF=NG，MN=FG，
∵DE是△ABC的中位線，
∴DE= BC=4，DE∥BC，
∴MN=FG= BC=4，
∴四邊形MFGN周長=2（MF+FG）=2MF+8，
∴MF⊥BC時，MF最短，
即：四邊形MFGN的周長最小，
過點A作AH⊥BC于H，
∴FM=AH
在Rt△ABH中，∠B=45°，AB=10，
∴AH= =5 ，
∴四邊形MFGN的周長最小為2MF+8=10 +8．
所以答案是：10 +8．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用三角形中位線定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．