Question

【題目】已知拋物線過點，兩點，與y軸交于點C，．

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

(2)過點A作，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；

(3)點P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點，當面積最大時，求點P的坐標；

(4)若點Q為線段OC上的一動點，問：是否存在最小值？若存在，求岀這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的表達式為：，頂點；(2)證明見解析；(3)點；(4)存在，的最小值為．

【解析】

(1)設交點式，利用待定系數法進行求解即可；

(2)先證明四邊形ADBM為菱形，再根據有一個角是直角的菱形是正方形即可得證；

(3)先求出直線BC的解析式，過點P作y軸的平行線交BC于點N，設點，則點N，根據可得關于x的二次函數，繼而根據二次函數的性質進行求解即可；

(4)存在，如圖，過點C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點F，過點A作，垂足為H，交y軸于點Q， 此時，則最小值，求出直線HC、AH的解析式即可求得H點坐標，進行求得AH的長即可得答案.

(1)函數的表達式為：，

即：，解得：，

故拋物線的表達式為：，

則頂點；

(2)，，

∵A(1,0)，B(3,0)，∴ OB=3，OA=1，

∴AB=2，

∴，

又∵D(2，-1)，

∴AD=BD=，

∴AM=MB=AD=BD，

∴四邊形ADBM為菱形，

又∵，

菱形ADBM為正方形；

(3)設直線BC的解析式為y=mx+n，

將點B、C的坐標代入得：，

解得：，

所以直線BC的表達式為：y=-x+3，

過點P作y軸的平行線交BC于點N，

設點，則點N，

則，

，故有最大值，此時，

故點；

(4)存在，理由：

如圖，過點C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點F，過點A作，垂足為H，交y軸于點Q，

此時，

則最小值，

在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，

∴OF=，

∴F(-，0)，

利用待定系數法可求得直線HC的表達式為：…①，

∵∠COF=90°，∠FOC=30°，

∴∠CFO=90°-30°=60°，

∵∠AHF=90°，

∴∠FAH=90°-60°=30°，

∴OQ=AOtan∠FAQ=，

∴Q(0,)，

利用待定系數法可求得直線AH的表達式為：…②，

聯立①②并解得：，

故點，而點，

則，

即的最小值為．