Question

【題目】定義：若函數與軸的交點的橫坐標為，，與軸交點的縱坐標為，若，中至少存在一個值，滿足（或），則稱該函數為友好函數．如圖，函數與軸的一個交點的橫坐標為-3，與軸交點的縱坐標為-3，滿足，稱為友好函數．

（1）判斷是否為友好函數，并說明理由；

（2）請探究友好函數表達式中的與之間的關系；

（3）若是友好函數，且為銳角，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）；（3）或，且

【解析】

（1）根據友好函數的定義，求出函數與x軸交點的橫坐標以及與y軸交點的縱坐標，即可進行判斷；

（2）先求出函數與y軸交點的縱坐標為c，再根據定義，可得當x=c時，y=0，據此可得出結果；

（3）分一下三種情況求解：（ⅰ）當在軸負半軸上時，由（2）可得：，進而可得出結果；（ⅱ）當在軸正半軸上時，且與不重合時，畫出圖像可得出結果；（ⅲ）當與原點重合時，不符合題意．

解：（1）是友好函數．理由如下：

當時，；當時，或3，

∴與軸一個交點的橫坐標和與軸交點的縱坐標都是3．

故是友好函數．

（2）當時，，即與軸交點的縱坐標為．

∵是友好函數．

∴時，，即在上．

代入得：，而，∴．

（3）（ⅰ）當在軸負半軸上時，由（2）可得：，

即，顯然當時，，

即與軸的一個交點為．

則，∴只需滿足，即．

∴．

（ⅱ）當在軸正半軸上時，且與不重合時，

∴顯然都滿足為銳角．

∴，且．

（ⅲ）當與原點重合時，不符合題意．

綜上所述，或，且．