Question

【題目】如圖，已知 是⊙ 的直徑， 是⊙ 上一點，∠ 的平分線交⊙ 于點 ，交⊙ 的切線 于點 ，過點 作 ⊥ ，交 的延長線于點 ．

（1）求證： 是⊙ 的切線；
（2）若 ．求 值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連結OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAF=∠DAO，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠DAF=∠ODA，

∴AF∥OD，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線，

（2）解：①連接BD，

∵直徑AB，∴∠ADB=90°，∵圓O與BE相切，∴∠ABE=90°，∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°，∴∠DAB=∠DBE，∴∠DBE=∠FAD，∵∠BDE=∠AFD=90°，∴△BDE∽△AFD，∴

②連接OC，交AD于G，

由①，設BE=2x，則AD=3x，

∵△BDE∽△ABE，

∴ ，

∴ ，

解得：x1=2，x2=- （不合題意，舍去），

∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，

∴sin∠EAB= ，

∴∠EAB=30°，

∴∠FAB=60°

【解析】（1）由AD平分∠BAC和OA=OD，得到∠DAF=∠ODA，根據內錯角相等兩直線平行，得到AF∥OD，由DF⊥AC，得到DF是⊙O的切線；（2）由直徑AB，得到∠ADB=90°，由BE是圓O的切線和同角的余角相等，得到∠DAB=∠DBE，∠DBE=∠FAD，根據兩角對應相等兩三角形相似，得到△BDE∽△AFD，得到比例，求出比值.