Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線CM，D是CM上一點，連接BD，且∠DBC=∠CAB．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）連接OD，若∠ABC=30°，OA=4，求OD的長．

Answer 1

（本題滿分6分）
（1）證明：
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°．
∵∠DBC=∠CAB，
∴∠DBC+∠ABC=90°，
即∠ABD=90°．
∴BD是⊙O的切線．（2分）

（2）連接OC，OD．
∵DC，DB是⊙O切線，
∴DC=DB．（3分）
∵OC=OB，
∴OD垂直平分BC，
∴∠DBC+∠BDE=90°；
∵∠DBC+∠ABC=90°，
∴∠BDE=∠ABC；
∵∠ABC=30°，
∴∠BDE=30°，（5分）
∴OB=

1

2

OD；
∵OB=OA=4，
∴OD=8．（6分）