Question

【題目】如圖，拋物線的圖像與軸交于、兩點（點在點的右側），與軸交于點，點為拋物線的頂點，且．

（1）點為直線上方拋物線上一點，求四邊形的面積的最大值；點、分別為射線、上的動點，當四邊形面積取得最大值時，求當線段的值為最小值時點的坐標．

（2）把繞點旋轉一定角度后得到，且點恰好在線段上，拋物線上的點與點關于拋物線對稱軸對稱，作，把沿直線平移后得到，在變換過程中是否存在為等腰三角形，若存在，直接寫出此時的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)根據題中條件求出直線BC的解析式，設，，四邊形ABPC的面積，得出P點坐標，過點作關于軸的對稱點，過點作關于軸的對稱點，連接交軸于點，交軸于點，此時的值最小．

(2)先求出D、K、C1的坐標和D1K1線段的長度，利用兩點之間的距離公式，表示出的三邊，分三種情況討論：①當時；②當；③時即可．

解：(1) 拋物線與軸交于點，

∵，B（3，0）在直線BC上

設直線BC的解析式為

代入得：

過點作軸的垂線交直線于點，如圖所示

設，

，

四邊形ABPC的面積：

當時，

此時．

過點作關于軸的對稱點，過點作關于軸的對稱點，

連接交軸于點，交軸于點，此時的值最小．

如圖所示：

設，

，

；

(2)∵

∴

∵點與點關于拋物線對稱軸對稱

∴，

∵A(-1，0)，

∴

過A1作A1G⊥AO，垂足為G，如圖所示

設

∴

解得：

∴OG=，A1O=2OG

∴∠A1OG=60°

∴∠C1OB=30°

∵CO=OC1=

∴

設，則

則

當時

解得：

當和時

同理可得

∴