Question

【題目】如下圖，已知直線分別與軸，軸交于，兩點，直線：交于點.

（1）求，兩點的坐標；

（2）如圖1，點E是線段OB的中點，連結AE，點F是射線OG上一點， 當，且時，求的長；

（3）如圖2，若，過點作∥，交軸于點，此時在軸上是否存在點，使，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），B（0，-4）（2）EF=（3）

【解析】

（1）根據直線與坐標軸的坐標特點即可求解；

（2）連結BF，根據題意可證明△AOE≌△OBF，得到BF=OE，求出BF=2，再利用在Rt△BEF中，由勾股定理求得EF=；

（3）根據平行求出直線BC的函數表達式為 得到C(-3,0)，OC=3再分當M1在A點左側，當M點在A點右側分別進行求解.

(1) 直線與軸，軸分別相交于A，B兩點，

時， ；時，

A（4，0），B（0，-4）.

（2）連結BF，由(1) ，得OA=OB，∠AOB=,

∠BOF+∠AOF=,

OF⊥AE，

∠AOF+∠EAO=.

∠BOF=∠EAO，

又AE=OF，OA=OB，

△AOE≌△OBF.

∠OBF=∠AOE=，BF=OE.

E是OB的中點 ,

OE=OB=2.

BF=2.

在Rt△BEF中，由勾股定理，EF2=BF2+BE2=22+22=8.

又EF>0,

EF=.

(3)∵BC∥OG，

∴直線BC的函數表達式為

又B(0，-4),

∴.

∴

令

得.

即C(-3,0).

∴OC=3.

故①當M1在A點左側，在OA上取OM1=3，則M1，C關于y軸對稱.

∴∠MBO=∠CBO.

∵OA=OB，∠AOB=90°,

∴∠ABO=45°.

而∠M1BO+∠ABM1=∠ABO=45°,

即∠CBO+∠ABM1=45°.

∴M1即為所求的點.

∴

②當M點在A點右側，滿足∠CBO+∠ABM2=45°時，又∠ABO=45°,

∴∠CBM2=∠CBO+∠ABM2+∠ABO=45°+45°=90°.

設M2(m，0),

在Rt△CBM2與Rt△BOM2中，由勾股定理，得：

即

∴

∴

∴