Question

【題目】如圖，直線AB分別與兩坐標軸交于點A（6，0），B（0，12），點C的坐標為（3，0）

（1）求直線AB的解析式；

（2）在線段AB上有一動點P．

①過點P分別作x，y軸的垂線，垂足分別為點E，F，若矩形OEPF的面積為16，求點P的坐標．

②連結CP，是否存在點P，使△ACP與△AOB相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2x+12；（2）①點P（2，8）或（4，4）；②存在，點P的坐標為（3，6）或點P（，）

【解析】

試題（1）由于A（6，0），B（0，12），利用待定系數法即可求出直線AB的解析式；

（2）①可以設動點P（x，﹣2x+12），由此得到PE=x，PF=﹣2x+12，再利用矩形OEPF的面積為16即可求出點P的坐標；

②存在，分兩種情況：第一種由CP∥OB得△ACP∽△AOB，由此即可求出P的坐標；第二種CP⊥AB，根據已知條件可以證明APC∽△AOB，然后利用相似三角形的對應邊成比例即可求出PA，再過點P作PH⊥x軸，垂足為H，由此得到PH∥OB，進一步得到△APH∽△ABO，然后利用相似三角形的對應邊成比例就可以求出點P的坐標．

解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，如圖1：

依題意，，

∴，

∴y=﹣2x+12；

（2）①設動點P （x，﹣2x+12），則PE=x，PF=﹣2x+12，

∴SOEPF=PEPF=x（﹣2x+12）=16，

∴x1=2，x2=4；

經檢驗x1=2，x2=4都符合題意，

∴點P（2，8）或（4，4）；

②存在，分兩種情況

∵A（6，0），B（0，12），

∴OA=6，OB=12，AB=6

第一種：CP∥OB，

∴△ACP∽△AOB，

而點C的坐標為（3，0），

∴點P（3，6）；

第二種CP⊥AB，

∵∠APC=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，

∴△APC∽△AOB，

∴，

∴，

∴AP=，

如圖2，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，

∴PH∥OB，

∴△APH∽△ABO，

∴，

∴，

∴PH=，AH=，

∴OH=OA﹣AH=6﹣=，

∴點P（，）．

∴點P的坐標為（3，6）或點P（，）．