Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線與軸交于點A，頂點為點B，點C與點A關于拋物線的對稱軸對稱．

（1）求直線BC的解析式；

（2）點D在拋物線上，且點D的橫坐標為4．將拋物線在點A，D之間的部分（包含點A，D）記為圖象G，若圖象G向下平移（）個單位后與直線BC只有一個公共點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】

試題（1）首先根據拋物線求出與軸交于點A，頂點為點B的坐標，然后求出點A關于拋物線的對稱軸對稱點C的坐標，設設直線BC的解析式為．代入點B，點C的坐標，然后解方程組即可；（ 2）求出點D、E、F的坐標，設點A平移后的對應點為點，點D平移后的對應點為點．當圖象G向下平移至點與點E重合時， 點在直線BC上方，此時t=1；當圖象G向下平移至點與點F重合時，點在直線BC下方，此時t=3．從而得出.

試題解析：解：（1）∵拋物線與軸交于點A，

∴點A的坐標為（0，2）． 1分

∵，

∴拋物線的對稱軸為直線，頂點B的坐標為（1，）． 2分

又∵點C與點A關于拋物線的對稱軸對稱，

∴點C的坐標為(2，2)，且點C在拋物線上．

設直線BC的解析式為．

∵直線BC經過點B（1，）和點C(2，2)，

∴ 解得

∴直線BC的解析式為

． 3分

（2）∵拋物線中，

當時，，

∴點D的坐標為(4，6)． 4分

∵直線中，

當時，，

當時，，

∴如圖，點E的坐標為(0，1)，

點F的坐標為(4，3)．

設點A平移后的對應點為點，點D平移后的對應點為點．

當圖象G向下平移至點與點E重合時， 點在直線BC上方，

此時t=1； 5分

當圖象G向下平移至點與點F重合時，點在直線BC下方，此時t=3．

6分

結合圖象可知，符合題意的t的取值范圍是． 7分