Question

3．如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合．
（1）證明：不論E、F在BC、CD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；
（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，探討四邊形AECF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最小）值．

Answer 1

分析 （1）先求證AB=AC，進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進(jìn)而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得S_△ABE=S_△ACF，故根據(jù)S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC即可解題．

解答 （1）證明：連接AC，如下圖所示，
∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，
∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD為等邊三角形，
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，
 $\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{AB=AC}\\{∠ABC=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF；

（2）解：四邊形AECF的面積不變．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
則S_△ABE=S_△ACF，
故S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H點(diǎn)，則BH=2，
S_{四邊形AECF}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$BC•$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)及三角形面積的計(jì)算，求證△ABE≌△ACF是解題的關(guān)鍵，有一定難度．