Question

12．已知拋物線y=2x²-4x+a（a＜0）與y軸相交于點A，頂點M，直線y=$\frac{1}{2}$x-a分別與x軸、y軸相交于B、C兩點，并且與直線AM相交于點N．

（1）填空：試用含a的代數式分別表示點M與N的坐標，則M（1，a-2），N（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a）；
（2）如圖1，將△NAC沿y軸翻折，若點N的對應點N′恰好落在拋物線上，AN′與x軸交于點D，連接CD，求a的值和四邊形ADCN的面積；
（3）在拋物線y=2x²-4x+a（a＜0）上是否存在一點P，使得以P、A、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知了拋物線的解析式，不難用公式法求出M的坐標為（1，a-1）．由于拋物線過A點，因此A的坐標是（0，a）．根據A，M的坐標，用待定系數法可得出直線AM的解析式為y=-2x+a．直線AM和y=$\frac{1}{2}$x-a聯立方程組即可求出N的坐標為（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a）．
（2）根據折疊的性質不難得出N與N′正好關于y軸對稱，因此N′的坐標為（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a）．由于N′在拋物線上，因此將N′的坐標代入拋物線的解析式中即可得出a的值．也就能確定N，C的坐標．求四邊形ADCN的面積，可分成△ANC和△ADC兩部分來求．已經求得了A，C，N的坐標，可求出AC的長以及N，D到y軸的距離．也就能求出△ANC和△ADC的面積，進而可求出四邊形ADCN的面積．
（3）分兩種情況進行討論：
①當P在y軸左側時，如果使以P，N，A，C為頂點的四邊形為平行四邊形，那么P需要滿足的條件是PN平行且相等于AC，也就是說，如果N點向上平移AC個單位即-2a后得到的點就是P點．然后將此時P的坐標代入拋物線中，如果沒有解說明不存在這樣的點P，如果能求出a的值，那么即可求出此時P的坐標．
②當P在y軸右側時，P需要滿足的條件是PN與AC應互相平分（平行四邊形的對角線互相平分），那么NP必過原點，且關于原點對稱．那么可得出此時P的坐標，然后代入拋物線的解析式中按①的方法求解即可

解答 解：（1）∵拋物線y=2x²-4x+a=2（x-1）²+a-2，
∴M（1，a-2），A（0，a），
∴直線AM的解析式為y=-2x+a①，
∵直線y=$\frac{1}{2}$x-a②與直線AM相交于點N．
聯立①②得，N（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a）；
故答案為：1，a-2；$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a；

（2）∵由題意得點N與點N′關于y軸對稱，
∴N′（-$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a）．
將N′的坐標代入y=2x²-4x+a得：
-$\frac{3}{5}$a=2×$\frac{16}{25}$a²-4×（-$\frac{4}{5}$a）+a，
∴a₁=0（不合題意，舍去），a₂=-$\frac{15}{4}$．
∴N（-3，$\frac{9}{4}$），
∴點N到y軸的距離為3．
∵A（0，-$\frac{15}{4}$），N'（3，$\frac{9}{4}$），
∴直線AN'的解析式為y=2x-$\frac{15}{4}$，它與x軸的交點為D（$\frac{15}{8}$，0）
∴點D到y軸的距離為$\frac{15}{8}$．
∴S_{四邊形ADCN}=S_△ACN+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{2}$×3+$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{2}$×$\frac{15}{8}$=$\frac{585}{32}$；

（3）存在，理由如下：
如圖，

①當點P在y軸的左側時，若ACPN是平行四邊形，則PN$\stackrel{∥}{=}$AC，
∵AC=-2a，
∴把N向上平移-2a個單位得到P，坐標為（（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{13}{5}$a），代入拋物線的解析式y=2x²-4x+a，
得：-$\frac{13}{5}$a=$\frac{32}{25}$a²-$\frac{16}{5}$a+a，
解得a₁=0（不舍題意，舍去），a₂=-$\frac{5}{16}$，
則P（-$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{16}$）；
②當點P在y軸的右側時，若APCN是平行四邊形，則AC與PN互相平分，
則OA=OC，OP=ON．
則P與N關于原點對稱，
則P（-$\frac{4}{5}$a，$\frac{3}{5}$a）；
將P點坐標代入拋物線解析式y=2x²-4x+a，
得：$\frac{3}{5}$a=$\frac{32}{25}$a²+$\frac{16}{5}$a+a，
解得a₁=0（不合題意，舍去），a₂=-$\frac{45}{16}$，
則P（$\frac{9}{4}$，-$\frac{27}{16}$）．
故存在這樣的點P（-$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{16}$）或（$\frac{9}{4}$，-$\frac{27}{16}$）．能使得以P，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式、圖形旋轉變換、平行四邊形的性質等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．