Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作半圓O，交BC于點D，交AC于點E．

（1）求證：BD＝CD．

（2）若弧DE＝50°，求∠C的度數．

（3）過點D作DF⊥AB于點F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）65°；（3）．

【解析】

（1）連接AD，利用圓周角定理推知AD⊥BD，然后由等腰三角形的性質證得結論；

（2）根據已知條件得到∠EOD＝50°，結合圓周角定理求得∠DAC＝25°，所以根據三角形內角和定理求得∠ABD的度數，則∠C＝∠ABD，得解；

（3）設半徑OD＝x．則AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，根據射影定理知：BD2＝BFAB，據此列出方程求得x的值，最后代入弧長公式求解．

（1）證明：如圖，連接AD．

∵AB是圓O的直徑，

∴AD⊥BD．

又∵AB＝AC，

∴BD＝CD．

（2）解：∵弧DE＝50°，

∴∠EOD＝50°．

∴∠DAE＝∠DOE＝25°．

∵由（1）知，AD⊥BD，則∠ADB＝90°，

∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABD＝65°．

（3）∵BC＝8，BD＝CD，

∴BD＝4．

設半徑OD＝x．則AB＝2x．

由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，

∵AD⊥BD，DF⊥AB，

∴BD2＝BFAB，即42＝x2x．

解得x＝4．

∴OB＝OD＝BD＝4，

∴△OBD是等邊三角形，

∴∠BOD＝60°．

∴弧BD的長是：＝．