Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+3x+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點D在拋物線上且橫坐標為3．

（1）求tan∠DBC的值；

（2）點P為拋物線上一點，且∠DBP=45°，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）tan∠DBC=；

（2）P（﹣，）．

【解析】

（1）連接CD，過點D作DE⊥BC于點E．利用拋物線解析式可以求得點A、B、C、D的坐標，則可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性質、勾股定理和圖中相關線段間的關系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；

（2）過點P作PF⊥x軸于點F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的結果得到：tan∠PBF=．設P（x，﹣x2+3x+4），則利用銳角三角函數定義推知，通過解方程求得點P的坐標為（﹣，）．

（1）令y=0，則﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，

解得 x1=﹣1，x2=4．

∴A（﹣1，0），B（4，0）．

當x=3時，y=﹣32+3×3+4=4，

∴D（3，4）．

如圖，連接CD，過點D作DE⊥BC于點E．

∵C（0，4），

∴CD//AB，

∴∠BCD=∠ABC=45°．

在直角△OBC中，∵OC=OB=4，

∴BC=4．

在直角△CDE中，CD=3．

∴CE=ED=，

∴BE=BC﹣DE=．

∴tan∠DBC=；

（2）過點P作PF⊥x軸于點F．

∵∠CBF=∠DBP=45°，

∴∠PBF=∠DBC，

∴tan∠PBF=．

設P（x，﹣x2+3x+4），則，

解得 x1=﹣，x2=4（舍去），

∴P（﹣，）．．