Question

【題目】定義：兩條拋物線(xiàn)頂點(diǎn)都在直線(xiàn)y=x上，且兩條拋物線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)這兩條拋物線(xiàn)為一對(duì)“友好拋物線(xiàn)”．

（1）拋物線(xiàn)y=2（x-1）2+1如圖1所示，請(qǐng)畫(huà)出它的“友好拋物線(xiàn)”，并直接寫(xiě)出它的解析式；
（確認(rèn)無(wú)誤后，請(qǐng)用黑色水筆描黑）
（2）一對(duì)“友好拋物線(xiàn)”，其中一條拋物線(xiàn)的解析式為y= -（x+h）2-h，這對(duì)“友好拋物線(xiàn)”與y軸交點(diǎn)記為A，B，記AB=n（當(dāng)A與B重合時(shí)，記n=0），現(xiàn)我們來(lái)探究n與h的關(guān)系；
①當(dāng)h≥0時(shí)，如圖2所示，求n與h的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)h＜0時(shí)，求n與h的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，要使 ≤n≤ ，試直接寫(xiě)出h的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：畫(huà)圖如下圖，函數(shù)解析式為：y=-2(x+1)2-1．

（2）

解：拋物線(xiàn)y= -（x+h）2-h的“友好拋物線(xiàn)”解析式為：y=（x-h）2+h

①當(dāng)h≥0時(shí)，A（0， h2+h）， B（0，-h2-h）

∴n=AB=(h2+h）-(-h2-h）=2h2+2h

②當(dāng)h＜0時(shí)，

當(dāng)h2+h＜-h2-h，即-1＜h＜0

n= AB=(-h2-h）-(h2+h）=-2h2-2h

當(dāng)h2+h≥-h2-h，即h≤-1

n= AB=(h2+h）-(-h2-h）=2h2+2h

綜上可得：

（3）

解：由（2）可知：

函數(shù)圖象如下：

可求得各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

C ；H

D ；E ；F ； G ,

所以要使 ≤n≤ ， h的取值范圍為：

或 或 ．

【解析】（1）根據(jù)“友好拋物線(xiàn)”的定義和成中心對(duì)稱(chēng)的特征，寫(xiě)出拋物線(xiàn)的解析式并畫(huà)圖；
（2）利用第（1）問(wèn)的結(jié)論，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式表示出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出n與h的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用第（2）問(wèn)的結(jié)論，數(shù)形結(jié)合，通過(guò)解方程求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小．