Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD=CD=8，AB=CB=6，點E，F，G，H分別是DA，AB，BC，CD的中點．

（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）若DA⊥AB，求四邊形EFGH的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：

連接AC、BD，交于點O，如圖．

∵點E、F、G、H分別是DA、AB、BC、CD的中點，

∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，

EF=GH= BD，EH=FG= AC，

∴四邊形EFGH是矩形．

∵AD=CD，AB=CB，

∴點D、B都在線段AC的垂直平分線上，

∴DB垂直平分AC，

∴DB⊥AC，OA=OC．

∵EF∥DB，

∴EF⊥AC．

∵FG∥AC，

∴EF⊥FG，

∴EFGH是矩形

（2）解：∵DA⊥AB，AD=8，AB=6，

∴DB=10．

∴EF= BD=5．

∵S△BAD= ABAD= BDAO，

∴AO= = = ，

∴OC= ，AC= ，

∴FG= AC= ，

∴S矩形EFGH=FGEF= ×5=24．

【解析】（1）連接AC、BD，交于點O，運用三角形中位線定理可證到四邊形EFGH是平行四邊形，要證四邊形EFGH是矩形，只需證EF⊥FG，由于EF∥BD，FG∥AC，只需證DB⊥AC，只需運用線段垂直平分線性質定理的逆定理就可解決問題；（2）要求矩形EFGH的面積，只需求出EF、FG的值，只需求出BD、AC，運用勾股定理就可求出BD，運用面積法就可求出AO，從而求出AC，問題得以解決．
【考點精析】本題主要考查了矩形的判定方法的相關知識點，需要掌握有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形才能正確解答此題．