Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線，交AB于點E，交CA的延長線于點F．

（1）求證：EF⊥AB；
（2）若∠C=30°，EF= ，求EB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，AD，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°．

又∵AB=AC，

∴CD=DB．又CO=AO，

∴OD∥AB．

∵FD是⊙O的切線，

∴OD⊥DF．∴FE⊥AB

（2）解：∵∠C=30°，

∴∠AOD=60°，

在Rt△ODF中，∠ODF=90°，

∴∠F=30°，

∴OA=OD= OF，

在Rt△AEF中，∠AEF=90°，∠F=30°

∵EF= ，

∴AE=EFtan30°= ．

∵OD∥AB，OA=OC=AF，

∴OD=2AE=2 ，AB=2OD=4 ，

∴EB=3

【解析】（1）連接OD，AD，只要證明OD是△ABC中位線即可解決問題．（2）首先證明AE是△ODF中位線，在Rt△AEF中求出AE，再求出OD，根據(jù)AB=2OD，求出AB即可問題．
【考點精析】通過靈活運用等腰三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑即可以解答此題．