Question

【題目】綜合與實踐

動手操作：

第一步：如圖1，正方形紙片ABCD沿對角線AC所在直線折疊，展開鋪平.在沿過點C的直線折疊，使點B，點D都落在對角線AC上.此時，點B與點D重合，記為點N，且點E，點N，點F三點在同一直線上，折痕分別為CE，CF.如圖2.

第二步：再沿AC所在的直線折疊，△ACE與△ACF重合，得到圖3

第三步：在圖3的基礎上繼續折疊，使點C與點F重合，如圖4，展開鋪平，連接EF，FG，GM，ME，如圖5，圖中的虛線為折痕.

問題解決：

(1)在圖5中，∠BEC的度數是 ，的值是 ；

(2)在圖5中，請判斷四邊形EMGF的形狀，并說明理由；

(3)在不增加字母的條件下，請你以圖中5中的字母表示的點為頂點，動手畫出一個菱形(正方形除外)，并寫出這個菱形： .

Answer 1

【答案】(1)67.5°；；(2)四邊形EMGF是矩形，理由見解析；(3)菱形FGCH或菱形EMCH(一個即可).

【解析】

(1)由正方形的性質可得∠B=90°，∠ACB=∠BAC=45°，根據折疊的性質可得∠BCE =22.5°，繼而可求得∠BEC=67.5°，在Rt△AEN中，由sin∠EAN=可得AE=EN，即可求得；

(2)四邊形EMGF是矩形，理由如下：由折疊的性質可得∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM=CG，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，MC=ME，GC=GF，∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，繼而可得∠MEF=∠GFE=90°，再根據等腰直角三角形的性質可得 ∠CMG=45°，由三角形外角的性質得∠BME=∠1+∠5=45°，根據平角的定義求得∠EMG=90°，根據有三個角是直角的四邊形是矩形即可得到四邊形EMGF是矩形；

(3) 如圖所示，四邊形EMCH是菱形，理由如下：先證明四邊形EMCH是平行四邊形，再根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明平行四邊形EMCH是菱形.(同理四邊形FGCH也是菱形).

(1)∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=90°，∠ACB=∠BCD=45°，∠BAC=∠BAD=45°，

∵折疊，

∴∠BCE=∠BCE=22.5°，BE=EN，∠ENC=∠B=90°，

∴∠BEC=90°-22.5°=67.5°，∠ANE=90°，

在Rt△AEN中，sin∠EAN=，

∴，

∴AE=EN，

∴，

故答案為：67.5°，；

(2)四邊形EMGF是矩形，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠BCD=∠D=90°，

由折疊可知：∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM=CG，

∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，

由折疊可知：MH、GH分別垂直平分EC，FC，

∴MC=ME，GC=GF，

∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，

∴∠MEF=∠GFE=90°，

∵∠MCG=90°，CM=CG，

∴∠CMG=45°，

又∵∠BME=∠1+∠5=45°，

∴∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°，

∴四邊形EMGF是矩形；

(3) 如圖所示，四邊形EMCH是菱形，理由如下：

由(2)∠BME=45°=∠BCA，

∴EM//AC，

∵折疊，

∴CM=CH，EM=CM，

∴EM=CH，

∴EM CH，

∴四邊形EMCH是平行四邊形，

又CM=EM，

∴平行四邊形EMCH是菱形.

(同理四邊形FGCH是菱形，如圖所示

).