Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點.

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖2，連接，點是線段上方拋物線上的一個動點，當時，求點的坐標；

（3）在拋物線上是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，；；

【解析】

（1）利用待定系數法，即可求出解析式；

（2）先求出AB，OC的長度，結合，求出直線BC的方程，過點作軸垂線，交于點，設，則，然后用a的代數式表示DH，求出a的值，即可得到點D的坐標；

（3）根據題意，可分為兩種情況進行情況①，作的垂直平分線交拋物線于點；情況②，作的外接圓，與拋物線交于點；結合二次函數與圓的性質，二次函數與一元二次方程的關系，即可求出點P的坐標.

解：（1）將點代入得：，

解得：

∴拋物線解析式為：；

（2）當時

解得：，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

如圖①，過點作軸垂線，交于點，

設，則，

∴，

∴，

整理得，

解得：，

當時，；

當時，；

∴或；

（3）存在；

情況1：如圖②，作的垂直平分線交拋物線于點，此時，

∵是等腰直角三角形，垂直平分，

∴，

由，得，

解得：，；

∴，；

情況2：如圖③，作的外接圓，與拋物線交于點，

∵，

∴，

∵為直徑，

∴，

過點作軸平行線交軸于點，過點作的垂線交的延長線于點，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

設，

則

∴，

整理得：，

解得：；

當時，點在第二象限，此時，故舍去

當時，，

∴，

綜上所述：；；.