Question

【題目】在平行四邊形中，對角線、交于點、是上一點，連接，點在邊上，且交于點，連接，已知，.

（1）若，，求的長；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）延長CG交AD于N，連接NF，AC交DE于H，證出∠DGN＝∠CGE＝45°，GC⊥AD，得出∠GFD＝90°＝∠GND，證出N、G、F、D四點共圓，由圓周角定理得出∠NFG＝∠NDG＝45°，由∠ANC＝∠AFC＝90°，得出A、N、F、C四點共圓，由圓周角定理得出∠ACN＝∠NFG＝45°，得出∠CHD＝90°，由直角三角形的性質(zhì)得出DN＝

CD＝2，CN＝DN＝2，得出AC＝CN＝2；

（2）由（1）得：△ADH、△CGH是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

（1）解：延長CG交AD于N，連接NF，AC交DE于H，如圖所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∵GC⊥BC，∠DEC＝45°，

∴∠DGN＝∠CGE＝45°，GC⊥AD，

∴∠GND＝90°，

∴∠NDG＝45°，

∵AF⊥CD，

∴∠GFD＝90°＝∠GND，

∴N、G、F、D四點共圓，

∴∠NFG＝∠NDG＝45°，

又∵∠ANC＝∠AFC＝90°，

∴A、N、F、C四點共圓，

∴∠ACN＝∠NFG＝45°，

∴∠CHD＝45°＋45°＝90°，

∵CD＝4，∠DCG＝30°，

∴DN＝

CD＝2，CN＝DN＝2，

∴AC＝CN＝2；

（2）證明：由（1）得：△ADH、△CGH是等腰直角三角形，

∴AD＝HD＝（HG＋DG）＝HG＋DG＝CG＋DG．