Question

【題目】如圖，已知拋物線與直線交于，兩點，點是拋物線上，之間的一個動點，過點分別作軸、軸的平行線與直線交于點，.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若為的中點，求的長；

（3）如圖，以，為邊構造矩形，設點的坐標為，

①請求出，之間的關系式；②求出矩形的周長最大時，點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x；（2）；（3）①；②P（0，0）

【解析】

（1）把A點坐標代入直線方程可求得a的值，再代入拋物線可求得b的值，可求得拋物線解析式；
（2）聯立拋物線和直線解析式可求得B點坐標，過A作AQ⊥x軸，交x軸于點Q，可知OC=AQ=4，可求得C點坐標，結合條件可知P點縱坐標，代入拋物線解析式可求得P點坐標，從而可求得PC的長；
（3）①根據矩形的性質可分別用m、n表示出C、P的坐標，根據DE=CP，可得到m、n的關系式．

②根據①中可得DE和CD，以及、之間的關系式可用n表示m，代入

解：（1）∵A（a，8）是拋物線和直線的交點，
∴A點在直線上，
∴8=2a+4，解得a=2，
∴A點坐標為（2，8），
又A點在拋物線上，
∴8=22+2b，解得b=2，
∴拋物線解析式為y=x2+2x；

（2）聯立拋物線和直線解析式可得，

解得，，

∴B點坐標為（-2，0），
如圖，過A作AQ⊥x軸，交x軸于點Q，

則AQ=8，OQ=OB=2，即O為BQ的中點，

當C為AB中點時，則OC為△ABQ的中位線，即C點在y軸上，

∴OC=AQ=4，

點坐標為，

又軸，

點縱坐標為4，

點在拋物線上，

，解得或，

點在、之間的拋物線上，

不合題意，舍去，

點坐標為，，

；

（3）①，且四邊形為矩形，

點橫坐標為，點縱坐標為，

、都在直線上，

，，，

軸，

點縱坐標為，

點在拋物線上，

，整理可得，

解得或（舍去），

點坐標為，，

，，

四邊形為矩形，

，即，

整理可得，

即、之間的關系式為；

②根據①中結論可知，，，

矩形PCDE的周長=

=，

∵，

∴，代入，

∴矩形PCDE的周長=，

當n=4，最大值為12，

可得m=-2，

此時點P坐標為（0，0）.