Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D的切線分別交AB，AC的延長線于E，F，連接BD．

（1）求證：AF⊥EF；
（2）若AC=6，CF=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：
如圖1，連接OD，

∵EF是⊙O的切線，且點D在⊙O上，
∴OD⊥EF，
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴∠ADO=∠DAC，
∴AF∥OD，
∴AF⊥EF
（2）解：
如圖2，過D作DG⊥AE于點G，連接CD，

∵∠BAD=∠DAF，AF⊥EF，DG⊥AE，
∴BD=CD，DG=DF，
在Rt△ADF和Rt△ADG中

∴Rt△ADF≌Rt△ADG（HL），
同理可得Rt△CDF≌Rt△BDG，
∴BG=CF=2，AG=AF=AC+CF=6+2=8，
∴AB=AG+BG=8+2=10，
∴⊙O的半徑OA= AB=5
【解析】（1）如圖1，連接OD，根據圓的切線垂直于經過切點的半徑可得OD⊥EF，由AD平分∠BAC可得∠DAB=∠DAC，結合已知可得∠ADO=∠DAC，用平行線的性質可得AF∥OD，所以AF⊥EF。
（2）如圖2，過D作DG⊥AE于點G，連接CD，根據斜邊直角邊定理可證Rt△ADF≌Rt△ADG，Rt△CDF≌Rt△BDG，所以有BG=CF，AG=AF=AC+CF，則AB=AG+BG，⊙O的半徑OA= AB.