Question

【題目】如圖，直線y1=﹣ x+2與x軸，y軸分別交于B，C，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A，B，C，點A坐標為（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸與x軸交于點D，連接CD，點P是直線BC上方拋物線上的一動點（不與B，C重合），當點P運動到何處時，四邊形PCDB的面積最大？求出此時四邊形PCDB面積的最大值和點P坐標；
（3）在拋物線上的對稱軸上：是否存在一點M，使|MA﹣MC|的值最大；是否存在一點N，使△NCD是以CD為腰的等腰三角形？若存在，直接寫出點M，點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，即點B（4，0），C（0，2）；

設二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，將點A、B、C的坐標代入解析式得，

，解得： ，

∴二次函數(shù)的關系式為y=﹣ x2+ x+2

（2）解：如圖1，過點P作PN⊥x軸于點N，交BC于點M，過點C作CE⊥PN于E，

設M（a，﹣ a+2），P（a，﹣ a2+ a+2），

∴PM=﹣ a2+ a+2﹣（﹣ a+2）=﹣ a2+2a（0≤x≤4）．

∵y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴點D的坐標為：（ ，0），

∵S四邊形PCDB=S△BCD+S△CPM+S△PMB= BDOC+ PMCE+ PMBN，

= + a（﹣ a2+2a）+ （4﹣a）（﹣ a2+2a），

=﹣a2+4a+ （0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）2+ ，

∴a=2時，S四邊形PCDB的面積最大= ，

∴﹣ a2+ a+2=﹣ ×22+ ×2+2=3，

∴點P坐標為：（2，3），

∴當點P運動到（2，3）時，四邊形PCDB的面積最大，最大值為

（3）解：如圖2中，

∵A（﹣1，0），C（0，2），

∴直線AC的解析式為y=2x+2，直線AC與對稱軸的交點即為點M，此時|MA﹣MC|的值最大，

∴M（ ，5）．

∵拋物線的對稱軸是x= ，

∴OD= ，

∵C（0，2），

∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD= = ，

∵△CDN是以CD為腰的等腰三角形，

∴CN1=DN2=DN3=CD．

如圖2所示，作CE⊥對稱軸于E，

∴EN1=ED=2，

∴DN1=4．

∴N1（ ，4），N2（ ， ），N3（ ，﹣ ）．

【解析】（1）根據(jù)x軸上點的坐標是（x，0），y軸點的坐標是（0，y），直線y1=﹣ x+2與x軸，y軸分別交于B，C，得到點B（4，0）、C（0，2），由拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A，B，C，點A坐標為（﹣1，0），用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）由拋物線的對稱軸與x軸交于點D，得到點D的坐標（ ，0），由S四邊形PCDB=S△BCD+S△CPM+S△PMB ，得到點P坐標（2，3），所以當點P運動到（2，3）時，四邊形PCDB的面積最大，最大值為 ；（3）由A（﹣1，0），C（0，2），代入得到直線AC的解析式為y=2x+2，直線AC與對稱軸的交點即為點M，此時|MA﹣MC|的值最大，得到M（ ，5），拋物線的對稱軸是x=，得到OD= ，由C（0，2），得到OC=2；在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=，由△CDN是以CD為腰的等腰三角形，得到CN1=DN2=DN3=CD，如圖2所示，作CE⊥對稱軸于E，得到EN1=ED=2，DN1=4，所以N1（ ，4），N2（ ，），N3（ ，﹣ ）；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.