Question

【題目】如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．

（1）求證：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的長；
（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F，

∴∠2=∠5，∠4=∠6，

∵M(jìn)N∥BC，

∴∠1=∠5，∠3=∠6，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，

∴OE=OF

（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，

∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，

∵CE=12，CF=5，

∴EF= =13，

∴OC= EF=6.5

（3）解：當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．

證明：當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，

∵EO=FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠ECF=90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．

【解析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到角相等，再由平行線的性質(zhì)得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由等角對等邊得到EO=CO，F(xiàn)O=CO，即OE=OF；（2）由互為鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直得到∠2+∠4=∠5+∠6=90°，根據(jù)勾股定理得到EF=13，求出OC的值；（3）根據(jù)矩形的判定方法可知，當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)得到四邊形AECF是平行四邊形，再由有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形判定即可.