Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，平面上的動點P滿足PC⊥AB，記∠APB＝α．

（1）如圖1，當點P在直線BC上方時，直接寫出∠PAC的大小（用含α的代數式表示）；

（2）過點B作BC的垂線BD，同時作∠PAD＝60°，射線AD與直線BD交于點D．

①如圖2，判斷△ADP的形狀，并給出證明；

②連結CD，若在點P的運動過程中，CD＝AB．直接寫出此時α的值．

Answer 1

【答案】（1）150°﹣；（2）①△ADP是等邊三角形，證明見解析；②α＝150°或α＝30°.

【解析】

（1）由等邊三角形的性質可得∠CAB＝∠CBA＝60°，AC＝CB＝AB，可證PA＝PB，由等腰三角形的性質可得∠PAB＝∠PBA＝90°，即可求解；

（2）①由“SAS”可證△DAB≌△PAC，可得AD＝AP，由等邊三角形的判定△ADP是等邊三角形；

②分點P在直線AB上方和直線AB下方兩種情況討論，由全等三角形的性質和等腰三角形的性質可求解．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠CAB＝∠CBA＝60°，AC＝CB＝AB，且PC⊥AB，

∴PC垂直平分AB，

∴PA＝PB，且∠APB＝α，PC⊥AB，

∴∠APC＝∠BPC＝α，

∴∠PAB＝∠PBA＝90°﹣，

∴∠PAC＝∠PAB+∠BAC＝150°﹣；

（2）①△ADP是等邊三角形，

理由如下：∵∠PAD＝60°＝∠CAB，

∴∠DAB＝∠PAC，

∵△ABC是等邊三角形，CP⊥AB，

∴∠ACP＝∠BCP＝30°，

∵DB⊥BC，∠ABC＝60°

∴∠DBA＝30°＝∠ACP，且AC＝AB，∠DAB＝∠PAC，

∴△DAB≌△PAC（ASA）

∴AD＝AP，且∠DAP＝60°，

∴△ADP是等邊三角形；

②如圖3，點P在AB上方時，

∵CD＝AB．

∴CD＝BC，

∵∠DBC＝90°，

∴CD2＝DB2+BC2，

∴BC＝DB，

∴AB＝DB，且∠DBA＝30°，

∴∠ADB＝75°，

∵△DAB≌△PAC，

∴∠APC＝∠ADB＝75°，

∴α＝150°；

如圖4，點P在AB下方時，

∵DB⊥BC，∠ABC＝60°

∴∠ABD＝150°

∵CD＝AB．

∴CD＝BC，

∵∠DBC＝90°，

∴CD2＝DB2+BC2，

∴BC＝DB，

∴AB＝DB，且∠ABD＝150°，

∴∠ADB＝15°，

∵∠PAD＝60°＝∠CAB，

∴∠DAB＝∠PAC，

∵△ABC是等邊三角形，CP⊥AB，

∴∠ACP＝∠BCP＝180°﹣30°＝150°，

∴∠DBA＝150°＝∠ACP，且AC＝AB，∠DAB＝∠PAC，

∴△DAB≌△PAC（SAS）

∴∠APC＝∠ADB＝15°，

∴α＝30°，