Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求證：BC= AB；
（3）點M是 的中點，CM交AB于點N，若AB=4，求MNMC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO．

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB．

又∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°．

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半徑．

∴PC是⊙O的切線．

（2）解：證明：∵AC=PC，

∴∠A=∠P，

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．

又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，

∴∠COB=∠CBO，

∴BC=OC．

∴BC= AB．

（3）解：連接MA，MB，

∵點M是 的中點，

∴ ，

∴∠ACM=∠BCM．

∵∠ACM=∠ABM，

∴∠BCM=∠ABM．

∵∠BMN=∠BMC，

∴△MBN∽△MCB．

∴ ．

∴BM2=MNMC．

又∵AB是⊙O的直徑， ，

∴∠AMB=90°，AM=BM．

∵AB=4，

∴BM=2 ．

∴MNMC=BM2=8．

【解析】（1）已知點C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可，根據圓周角定理，得∠PCB+∠OCB=90°．即OC⊥CP，故PC是⊙O的切線；（2）AB事直徑，故只需證明BC與半徑相等即可；（3）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM．進而可證△MBN∽△MCB．故BM2=MNMC．代入數據可得MNMC=BM2=8．