Question

【題目】在數學活動課上，數學老師出示了如下題目：

如圖①，在四邊形中，是邊的中點，是的平分線，．

求證：．

小聰同學發現以下兩種方法：

方法1：如圖②，延長、交于點．

方法2：如圖③，在上取一點，使，連接、．

（1）請你任選一種方法寫出這道題的完整的證明過程；

（2）如圖④，在四邊形中，是的平分線，是邊的中點，，，求證：．

　　　　　　

Answer 1

【答案】（1）方法1：證明見解析；方法2：證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）方法1：先根據角平分線的定義、平行線的性質得出，再根據等腰三角形的性質可得，根據三角形全等的判定定理與性質得出，然后根據線段的和差即可得證；

方法2：先根據角平分線的定義得出，再根據三角形全等的判定定理與性質可得，然后根據線段中點的定義、等腰三角形的性質可得，最后根據平行線的性質、平角的定義可得，由等腰三角形的定義可得，由此根據線段的和差即可得證；

（2）如圖（見解析），參照方法1構造輔助線，先根據等腰三角形的性質得出平分，從而有，再根據平行線的性質、角的和差得出，，然后根據三角形全等的判定定理與性質即可得證．

（1）方法1：如圖②，延長、交于點

是的平分線

是邊的中點

在和中，

；

方法2：如圖③，在上取一點，使，連接、

是的平分線

在和中，

是邊的中點

，即

，即

又

；

（2）如圖，過點C作，交AE延長線于點G，延長GC交AB于點F，連接EF

由方法1可知：

是等腰三角形

平分

，

，即

在和中，

．