Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD=10，CD=4，AD=6．點P是線段BD上的動點，點E、Q分別是線段DA、BD上的點，且DE=DQ=BP，聯結EP、EQ．

（1）求證：EQ∥DC；

（2）如果△EPQ是以EQ為腰的等腰三角形，求線段BP的長；

（3）當BP=m（0<m<5）時，求∠PEQ的正切值．（用含m的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用兩邊成比例且夾角相等可判定△DEQ ∽△BCD，從而證得結論；

（2）設BP的長為x，則DQ=x，QP=2x-10，利用（1）的結論△DEQ ∽△BCD，求得．分類討論：當EQ=EP、QE=QP時，分別求得答案即可；

（3）過點P作PH⊥EQ，交EQ的延長線于點H；過點B作BG⊥DC，垂足為點G，易證得△PHQ ∽△BGD，利用對應邊成比例通過計算得到的值，從而求得答案.

（1）∵AD//BC，∴∠EDQ=∠DBC．

∵，，∴．

∴△DEQ ∽△BCD．

∴∠DQE=∠BDC，

∴EQ//CD．

（2）設BP的長為x，則DQ=x，QP=2x-10．

∵△DEQ ∽△BCD，

∴，

∴．

（i）當EQ=EP時，

∴∠EQP =∠EPQ，

∵DE=DQ，∴∠EQP =∠QED，∴∠EPQ =∠QED，

∴△EQP ∽△DEQ，∴，∴，

解得 ，或（舍去）．

（ii）當QE=QP時，

∴，解得 ，

∵，∴此種情況不存在．

∴

（3）過點P作PH⊥EQ，交EQ的延長線于點H；過點B作BG⊥DC，垂足為點G．

∵BD=BC，BG⊥DC，∴DG=2，BG，

∵BP= DQ=m，∴PQ=10-2m．

∵EQ∥DC∴∠PQH =∠BDG．

又∵∠PHQ =∠BGD= 90°，

∴△PHQ ∽△BGD．

∴，∴．

∴，．

∴，

∴