Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數（a、b都是常數，且a<0）的圖像與x軸交于點、，頂點為點C.

（1）求這個二次函數的解析式及點C的坐標；

（2）過點B的直線交拋物線的對稱軸于點D，聯結BC，求∠CBD的余切值；

（3）點P為拋物線上一個動點，當∠PBA=∠CBD時，求點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）或

【解析】

（1）由點A，B的坐標，利用待定系數法即可求出二次函數的解析式，再利用配發法即可求出頂點C的坐標；

（2）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點D的坐標，過點D作DE⊥BC，垂足為點E，設拋物線對稱軸與x軸的交點為點F，由點B，C，D，F的坐標可得出CD，DF，BF的長，利用勾股定理可得出BC的長，利用角的正切值不變可求出DE的長，進而可求出BE的長，再利用余切的定義即可求出∠CBD的余切值；

（3）設直線PB與y軸交于點M，由∠PBA=∠CBD及∠CBD的余切值可求出OM的長，進而可得出點M的坐標，由點B，M的坐標，利用待定系數法即可求出直線BP的解析式，聯立直線BP及二次函數解析式成方程組，通過解方程組可求出點P的坐標．

（1）將A（-2，0），B（6，0）代入y=ax2+bx+6，得： ，

解得：，

∴二次函數的解析式為y=-x2+2x+6，

∵y=-x2+2x+6=-（x-2）2+8，

∴點C的坐標為（2，8）；、

（2）當x=2時，y=-x+3=2，

∴點D的坐標為（2，2），

過點D作DE⊥BC，垂足為點E，設拋物線對稱軸與x軸的交點為點F，如圖1所示．

∵拋物線的頂點坐標為（2，8），

∴點F的坐標為（2，0），

∵點B的坐標為（6，0），

∴CF=8，CD=6，DF=2，BF=4，BC==4，BD==2，

∴sin∠BCF==，即=，

∴DE=，

∴BE==，

∴cot∠CBD===；

（3）設直線PB與y軸交于點M，如圖2所示．

∵∠PBA=∠CBD，

∴cot∠PBA=，即，

∴OM=，

∴點M的坐標為（0，）或（0，-），

設直線BP的解析式為y=mx+n（m≠0），

將B（6，0），M（0，）代入y=mx+n，得：，

解得：，

∴直線BP的解析式為y=-x+，

同理，當點M的坐標為（0，-）時，直線BP的解析式為y=-x+，

聯立直線BP與拋物線的解析式成方程組，得：或，

解得：，或，，

∴點P的坐標為（-，）或（-，-）．