Question

4．如圖，二次函數y=ax²+bx-2的圖象交x軸于A（1，0）、B（-2，0），交y軸于點C，連接直線AC．
（1）求二次函數的解析式；
（2）點P在二次函數的圖象上，圓P與直線AC相切，切點為H．
①若P在y軸的左側，且△CHP∽△AOC，求點P的坐標；
②若圓P的半徑為4，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）將A、B兩點的坐標代入拋物線的解析式，得到關于a、b的二元一次方程組，從而可求得a、b的值；
（2）①由切線的性質可知PH⊥AC，當H在點C下方時，由△CHP∽△AOC可知∠PCH=∠CAO從而可證明CP∥x軸，于是得到y_P=-2，y_P=-2代入拋物線的解析式可求得x₁=0（舍去），x₂=-1，從而可求得P（-1，-2）；如圖1，當H′在點C上方時，由相似三角形的性質可知：∠P′CH′=∠CAO，故此QA=QC，設OQ=m，則QC=QA=m+1，在Rt△QOC中，由勾股定理可求得m的值，從而得到點Q的坐標，然后利用待定系數法求得直線C P′的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-2，然后將CP′與拋物線的解析式聯立可求得點P′的坐標為（-$\frac{7}{3}$，$\frac{10}{9}$）．
（3）在x軸上取一點D，如圖（2），過點D作DE⊥AC于點E，使DE=4．在Rt△AOC中，由勾股定理可知AC=$\sqrt{5}$，由題意可知證明△AED∽△AOC，由相似三角形的性質可求得AD=2$\sqrt{5}$，故此可得到點D的坐標為D（1-2$\sqrt{5}$，0）或D（1+2$\sqrt{5}$，0），過點D作DP∥AC，交拋物線于P，利用待定系數法可求得直線AC的解析式為y=2x-2，于是得到直線PD的解析式為y=2x+4$\sqrt{5}$-2或y=2x-4$\sqrt{5}$-2，將直線PD的解析式與拋物線的解析式聯立可求得點P的坐標．

解答 解：（1）∵將x=1，y=0，x=-2，y=0代入y=ax²+bx-2得$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{4a-2b-2=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²+x-2．
（2）解①∵圓P與直線AC相切，
∴PH⊥AC．
（i）如圖1，當H在點C下方時，

①∵△CHP∽△AOC，
∴∠PCH=∠CAO．
∴CP∥x軸．
∴y_P=-2．
∴x²+x-2=-2．
解得x₁=0（舍去），x₂=-1，
∴P（-1，-2）．
（ii）如圖1，當H′在點C上方時．
∵∠P′CH′=∠CAO，
∴QA=QC，
設OQ=m，則QC=QA=m+1，
在Rt△QOC中，由勾股定理，得m²+2²=（m+1）²，解得，m=$\frac{3}{2}$，即OQ=$\frac{3}{2}$；
設直線C P′的解析式為y=kx-2，
把Q（-$\frac{3}{2}$，0）的坐標代入，得$-\frac{3}{2}$k-2=0，解得k=-$\frac{4}{3}$，∴y=-$\frac{4}{3}$x-2，
由-$\frac{4}{3}$x-2=x²+x-2，解得x₁=0（舍去），x₂=$-\frac{7}{3}$，此時y=-$\frac{4}{3}$×（-$\frac{7}{3}$）-2=$\frac{10}{9}$，
∴P′（-$\frac{7}{3}$，$\frac{10}{9}$）．
∴點P的坐標為（-1，-2）或（-$\frac{7}{3}$，$\frac{10}{9}$）
②在x軸上取一點D，如圖（2），過點D作DE⊥AC于點E，使DE=4．

在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{A{O}^{2}+C{O}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC．
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{OC}$，即$\frac{AD}{\sqrt{5}}$=$\frac{4}{2}$，解得AD=2$\sqrt{5}$，
∴D（1-2$\sqrt{5}$，0）或D（1+2$\sqrt{5}$，0）．
過點D作DP∥AC，交拋物線于P，設直線AC的解析式為y=kx+b．
將點A、C的坐標代入拋物線的解析式得到：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{k+b=0}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴直線AC的解析式為y=2x-2．
∴直線PD的解析式為y=2x+4$\sqrt{5}$-2或y=2x-4$\sqrt{5}$-2，
當2x+4$\sqrt{5}$-2=x²+x-2時，即x²-x-4$\sqrt{5}$=0，解得x₁=$\frac{1+\sqrt{1+16\sqrt{5}}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{1+16\sqrt{5}}}{2}$；
當2x-4$\sqrt{5}$-2=x²+x-2時，即x²-x+4$\sqrt{5}$=0，方程無實數根．
∴點P的坐標為（$\frac{1+\sqrt{1+16\sqrt{5}}}{2}$，$\sqrt{1+16\sqrt{5}}+4\sqrt{5}$-1）或（$\frac{1-\sqrt{1+16\sqrt{5}}}{2}$，-$\sqrt{1+16\sqrt{5}}+4\sqrt{5}-1$）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了切線的性質、相似三角形的性質和判定、待定系數法求一次函數和二次函數的解析式、勾股定理等知識點，求得點Q的坐標和點D的坐標是解題的關鍵．