Question

如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，若PA⊥AB，PO過AC的中點M．
（Ⅰ）求證：MO=

1

2

BC；
（Ⅱ）求證：PC是⊙O的切線．

Answer 1

證明：（1）∵AB是直徑，∴O是AB中點；
又∵M為AC中點，
∴OM是三角形ABC中位線，
∴MO=

1

2

BC；

（2）證明：連接OC，
∵PA⊥AB，
∴∠PA0=90°．（1分）
∵PO過AC的中點M，OA=OC，
∴PO平分∠AOC．
∴∠AOP=∠COP．（3分）
∴在△PAO與△PCO中有OA=OC，∠AOP=∠COP，PO=PO．
∴△PAO≌△PCO．（6分）
∴∠PCO=∠PA0=90°．
即PC是⊙O的切線．（7分）