Question

【題目】如圖，一次函數y=x+3的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點，與反比例函數 的圖象相交于C，D兩點，分別過C，D兩點作y軸，x軸的垂線，垂足為E，F，連接CF，DE．有下列四個結論：
①△CEF與△DEF的面積相等；
②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；
④AC=BD．
其中正確的結論是（ ）

A.①②
B.①②③
C.①②③④
D.②③④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①設D（x， ），則F（x，0），
由圖象可知x＞0，
∴△DEF的面積是： ×| |×|x|=2，
設C（a， ），則E（0， ），
由圖象可知： ＜0，a＞0，
△CEF的面積是： ×|a|×| |=2，
∴△CEF的面積=△DEF的面積，
故①正確；②△CEF和△DEF以EF為底，則兩三角形EF邊上的高相等，
故EF∥CD，
∴FE∥AB，
∴△AOB∽△FOE，
故②正確；③∵C、D是一次函數y=x+3的圖象與反比例函數 的圖象的交點，
∴x+3= ，
解得：x=﹣4或1，
經檢驗：x=﹣4或1都是原分式方程的解，
∴D（1，4），C（﹣4，﹣1），
∴DF=4，CE=4，
∵一次函數y=x+3的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵DF∥BO，AO∥CE，
∴∠BCE=∠BAO=45°，∠FDA=∠OBA=45°，
∴∠DCE=∠FDA=45°，
在△DCE和△CDF中 ，
∴△DCE≌△CDF（SAS），
故③正確；④∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四邊形BDFE是平行四邊形，
∴BD=EF，
同理EF=AC，
∴AC=BD，
故④正確；
正確的有4個．
故選：C．

【考點精析】本題主要考查了反比例函數的圖象和反比例函數的性質的相關知識點，需要掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．