Question

【題目】已知二次函數y=a(x+1)(x－m) (a為常數，a1)的圖像過點（1，2）.

（1）當a=2時，求m的值；

（2）試說明方程a(x+1)(x－m)＝0兩根之間（不包括兩根）存在唯一整數，并求出這個整數；

（3）設M（n，y1）、N（n+1，y2）是拋物線上兩點，當n <－1時，試比較y1與y2的大小.

Answer 1

【答案】（1）m=；（2）兩根之間存在唯一整數，這個整數是0；（3）當n<－1時，y1>y2

【解析】

（1）把點（1，2）、a＝2，代入二次函數解析即可求出m值；

（2）先求出方程a(x+1)(x－m)＝0的兩根x1=－1，x2=m，再將點（1，2）代入函數解析式，得出m=1－，利用a1即可求出m的取值范圍，進而得出答案；

（3）利用二次函數的性質即可比較出y1與y2的大小.

（1）a=2時，y=2(x+1)(x－m)，

將（1，2）代入得2＝4(1－m)，

解得m=；

（2）由方程a(x+1)(x－m)＝0解得x1=－1，x2=m，

又y=a(x+1)(x－m)過點（1，2），

則2＝2a(1－m)，

解得m=1－，

∵a>1，

∴0<<1，

∴0<m<1

即0< x2<1，

∴兩根之間存在唯一整數，這個整數是0；

（3）∵方程兩根是－1，1－且拋物線開口向上，由二次函數圖像與性質知，

n<－1時，M點縱坐標y1>0，

①當－2≤n<－1時，－1≤n+1<0，

∴y2<0，

此時y1>y2

②當n<－2時，n+1<－1，

此時M、N兩點均在－1左側，

由拋物線圖像與性質知，y隨x增大而減小，

∴y1>y2，

綜上，當n<－1時，y1>y2 .