Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為BC的中點，經過AD兩點的圓分別與AB，AC交于點E、F，連接DE，DF．

（1）求證：DE＝DF；

（2）求證：以線段BE+CF，BD，DC為邊圍成的三角形與△ABC相似，

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）連接AD，證明∠BAD＝∠CAD即可得出，則結論得出；

（2）在AE上截取EG＝CF，連接DG，證明△GED≌△CFD，得出DG＝CD，∠EGD＝∠C，則可得出結論△DBG∽△ABC．

（1）證明：連接AD，

∵AB＝AC，BD＝DC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴，

∴DE＝DF．

（2）證明：在AE上截取EG＝CF，連接DG，

∵四邊形AEDF內接于圓，

∴∠DFC＝∠DEG，

∵DE＝DF，

∴△GED≌△CFD（SAS），

∴DG＝CD，∠EGD＝∠C，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴△DBG∽△ABC，

即以線段BE+CF，BD，DC為邊圍成的三角形與△ABC相似．